球面像差

球面像差

 日期：2018/2/13

用球面作成的凹面鏡無法將平行主軸的入射光集中在同一個點，如果想要讓球面鏡有接近抛物面鏡的效果，入射光必須靠近主軸，球面的曲率半徑要夠大。我的目標是畫出可以自己調整半徑、入射光範圍、入射光數量的圖，另外也用同樣的方式畫出抛物線版本的圖。GeoGebraTube 的連結在此：1. 球https://ggbm.at/TEJPHsya   2. 抛物線  https://ggbm.at/d2khJ7t2 

球面像差最終成果

球面像差繪圖步驟

1. 新增控制入射光數量 n、半徑 r、入射光範圍 range 的數值滑桿，指令為

n = Slider(1, 11, 1)

r = Slider(5, 15, 1)

range = Slider(0, r-1, 0.1)

為了不讓入射光照到球面鏡的邊緣，因此 range 的最大值設為 r-1。手動調整數值 n = 5、r = 10、range = 5。

2. 在 x 軸上新增原心點 C，利用 Segment 指令，以點 C 為起點向右畫出長度為 r 的線段，線段的右端會自動新增一個點，將它重新命名為 A，再用 Rotate 指令畫出點 C 上、下距離皆為 r 的點 A1、A2，再畫出通過 A1、A2 的圓弧 c。指令為

C = Point(xAxis)

i = Segment(C, r)

A_1 = Rotate(A, 90°, C)

A_2 = Rotate(A, -90°, C)

c = Semicircle(A_1, A_2)

球面像差步驟 1 ~ 2 成果

3. 在 x 軸上畫出直線 f 作為主軸，新增點 B，在點 B 上、下 ± range 的範圍內畫 n 個點 points ，由這 n 個點畫出平行主軸的直線 lines ，找出直線與圓弧的交點 inters。指令為

f = Line(A, C)

B = Point(xAxis)

points = Sequence((x(B), i), i, -range, range, 2*range / (n - 1))

lines = Sequence(Line(points(i), f), i, 1, n)

inters = Sequence(Intersect(c, lines(i)), i, 1, n)

球面像差步驟 3 成果

4. 畫出圓弧上的點 inters 各自的切線 tangents 與法線 nomrs。如果想要偷懶一點就只畫圓心和圓弧上各點的連線，這些連線就會是法線，這是圓的特性。

tangents = Sequence(Tangent(inters(i), c), i, 1, n)

nomrs = Sequence(PerpendicularLine(inters(i), tangents(i)), i, 1, n)

球面像差步驟 4 成果

5. 用 inters 及 points 畫出射線 incidents 作為入射光，再用線對稱畫出 points 反射後的點 points’，再用 inters 及 points' 畫出射線 reflects 作為反射光。

incidents = Sequence(Ray(inters(i), points(i)), i, 1, n)

points' = Sequence(Reflect(points(i), norms(i)), i, 1, n)

reflects = Sequence(Ray(inters(i), points'(i)), i, 1, n)

這裡我們不直接畫 incidents 的線對稱，因為畫出來會像下方的第二張圖，線對稱的結果會變成直線，不符合我們的需求。

球面像差步驟 5 成果

球面像差步驟 5 對入射光直接畫線對稱的結果

6. 調整不同的入射光範圍 range，當 r = 10、range = 6.4 時，反射光很明顯地沒有集中在一個點上；當 r = 10、range = 3 時，反射光幾乎集中在 x = 5 處，可以看出焦距  f 約等於 r/2。

球面像差 r = 10、range = 6.4 的圖形

球面像差 r = 10、range = 3 的圖形

抛物線反射繪圖步驟

1. 請參考前一篇文章〈二次曲線光學性質〉抛物線繪圖步驟1、2畫出如下圖的抛物線。

抛物線反射步驟 1 成果

2. 新增控制入射光數量 n、入射光範圍 range 的數值滑桿，指令為

n = Slider(1, 11, 1)

range = Slider(1, 10, 0.1)

手動調整數值為 n = 5、range = 10。

3. 在 x 軸上畫出直線 f 作為主軸，新增點 B，在點 B 上、下 ± range 的範圍內畫 n 個點 points ，由這 n 個點畫出平行主軸的直線 lines ，找出直線與抛物線 d 的交點 inters。指令為

f = Line(A, C)

B = Point(xAxis)

points = Sequence((x(B), i), i, -range, range, 2*range / (n - 1))

lines = Sequence(Line(points(i), f), i, 1, n)

inters = Sequence(Intersect(d, lines(i)), i, 1, n)

抛物線反射步驟 2 ~ 3 成果

4. 畫出圓弧上的點 inters 各自的切線 tangents 與法線 nomrs。

tangents = Sequence(Tangent(inters(i), d), i, 1, n)

nomrs = Sequence(PerpendicularLine(inters(i), tangents(i)), i, 1, n)

抛物線反射步驟 4 成果

5. 用 inters 及 points 畫出射線 incidents 作為入射光，再用線對稱畫出 points 反射後的點 points’，再用 inters 及 points' 畫出射線 reflects 作為反射光。

incidents = Sequence(Ray(inters(i), points(i)), i, 1, n)

points' = Sequence(Reflect(points(i), norms(i)), i, 1, n)

reflects = Sequence(Ray(inters(i), points'(i)), i, 1, n)

抛物線反射步驟 5 成果

6. 調整不同的入射光範圍 range，可以看到不管入射光範圍有多大，反射光依然會經過焦點。

抛物線反射 range = 3 的圖形

抛物線反射 range = 10 的圖形

結論

這兩張圖後半段的繪圖步驟幾乎一模一樣，只要掌握繪圖的原則，就可以畫出更多自己想要的效果。雖然可以調整入射光的數量，但是當入射光數量太多時，圖形會亂到很難看清楚，效果反而不好。

相關指令的官方說明書

1. 數值滑桿    https://wiki.geogebra.org/en/Slider_Command
2. 點                https://wiki.geogebra.org/en/Point_Command 
3. 線段            https://wiki.geogebra.org/en/Segment_Command 
4. 半圓            https://wiki.geogebra.org/en/Semicircle_Command 
5. 直線            https://wiki.geogebra.org/en/Line_Command 
6. 串列            https://wiki.geogebra.org/en/Sequence_Command 
7. 切線            https://wiki.geogebra.org/en/Tangent_Command 
8. 垂直線        https://wiki.geogebra.org/en/PerpendicularLine_Command 
9. 射線            https://wiki.geogebra.org/en/Ray_Command 
10. 線對稱        https://wiki.geogebra.org/en/Reflect_Command 
11. 抛物線        https://wiki.geogebra.org/en/Parabola_Command